オリジナルの御朱印帳の裏表紙には、神社の名前が書かれてあります。
他の神社に持ち込んで、御朱印を書いてもらえるか心配ですよね？
結論からいうと、使っても大丈夫です。
Ａ神社の御朱印帳⇒Ｂ神社⇒Ｃ神社（神社で統一）
例えば、伊勢神宮のオリジナルの御朱印帳を、他の神社に持ち込んでお願いするのは問題ありません。（拒否されたことはありません）
以上、「オリジナルの御朱印帳は、他の神社でも使えるの？」についての話でした。
御朱印帳の使い方全体については、下のリンク先ページをご覧ください。
御朱印帳の使い方